読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

金融と工学のあいだ

興味関心に関するメモ(機械学習、検索エンジン、プログラミングなど)

Shreve Ⅰ Exercises chpater2

要旨

二項モデルにおいて標本空間\(\Omega\)と確率測度\(\mathbb P\)を導入し、\(\Omega\)上の確率変数\(X\)を説明しています。期待値や条件付き期待値、マルチンゲール、マルコフ過程を説明しています。

マルチンゲール性とは
\begin{align*}
M_n=\mathbb E_n[M_{k}]~~~~~~(n < k)
\end{align*}
のように確率変数の将来の期待値\(\mathbb E_n[M_{k}]\)(現在の条件付き期待値)が現在の値\(M_n\)から変化しないことを言い、賭け事の平等性などを表しています。

進め方

奇数の問題を解いていきたいと思います。

Exercises 2.1

証)
(i)
\( \mathbb P(A) + \mathbb P(A^c) = \mathbb P(\Omega) = 1 \)より\( \mathbb P(A^c) = 1 - \mathbb P(A) \)

(ii)
\(N=2\)の時を考える。
\(\sum_{n=1}^2 \mathbb P(A_n) = \mathbb P(A_1) + \mathbb P(A_2) = \mathbb P(\cup_{n=1}^2 A_n) - \mathbb P(A_1 \cap A_2) \geq \mathbb P(\cup_{n=1}^2 A_n)\)

Exercises 2.3

証)
\(M_n=\mathbb E_n[M_k] \rightarrow \phi(M_n) \leq \mathbb E_n[\phi(M_k)]\)を証明すれば良い。
Conditional Jensen's inequalityから証明できる。

Exercises 2.5

証)
(i)
定数nを導出するために\( (M_{j+1}-M_j)^2=1 \)であることに着目する。
\(n=\sum_{j=0}^{n-1} (M_{j+1}-M_j)^2=\sum_{j=0}^{n-1} M_{j+1}^2-2M_{j+1} M_j+M_j^2\)
\(=\sum_{j=0}^{n-1} -2(M_{j+1}M_j-M_j^2)+M_{j+1}^2-M_j^2=-2I_n+M_n^2\)より
\(I_n=\frac{1}{2}M_n^2-\frac{n}{2}\)

(ii)
\(E_n[f(I_{N+1})]=E_n[f(\frac{1}{2}M_{n+1}^2-\frac{n+1}{2})]=\frac{1}{2}f(\frac{1}{2}(M_{n}+1)^2-\frac{n+1}{2})+\frac{1}{2}f(\frac{1}{2}(M_{n}-1)^2-\frac{n+1}{2})\)
\(=\frac{1}{2} f(\frac{1}{2}(M_{n}^2+2 M_{n} - n))+\frac{1}{2}f(\frac{1}{2}(M_{n}^2-2 M_{n}-n))=\frac{1}{2}f(I_n+M_{n})+\frac{1}{2}f(I_n-M_{n})\)
\(=\frac{1}{2}f(I_n+\sqrt{2I_n+n})+\frac{1}{2}f(I_n-\sqrt{2I_n-n})=g(I_n)\)

Exercises 2.7

\(S_{n+1}=S_n+g(X_1,\cdots,X_n)X_{n+1}\)として\(g(X_1,\cdots,X_n)\)が-1または1になるようにした時、
マルチンゲール性を保ちながらも全ての試行結果を保存しなければならないのでマルコフ性はない。

Exercises 2.9

証)
(i)
\(\widetilde{p_0}=1/2,\widetilde{q_0}=1/2,\widetilde{p_1}(H)=1/2,\widetilde{q_1}(H)=1/2,\widetilde{p_1}(T)=1/6,\widetilde{q_1}(T)=5/6\)より
\(\widetilde{\mathbb P}(HH)=1/4,\widetilde{\mathbb P}(HT)=1/4,\widetilde{\mathbb P}(TH)=1/12,\widetilde{\mathbb P}(TT)=5/12\)

(ii)
\(V_1(H)=\frac{4}{5}(\frac{1}{2}5+\frac{1}{2}1)=12/5\)と同様に\(V_1(T)=1/9,V_0=226/225\)

(iii)
\(\Delta_0=\frac{V_1(H)-V_1(T)}{S_1(H)-S_1(T)}=103/270\)

(iv)
\(\Delta_1(H)=\frac{V_2(HH)-V_2(HT)}{S_2(HH)-S_2(HT)}=1\)

途中・・・