Shreve Ⅰ Exercises chpater1

進め方

とりあえず奇数の問題を解いていきたいと思います。

Exercises 1.1

少し文章がわかりづらかったが、簡単にまとめると\(0 < d < 1+r < u \)かつ\( X_0=0 \)の条件の時、
\begin{align*}
X_1=\Delta_0 S_1+(1+r)(X_0-\Delta_0 S_0)
\end{align*}
は必ず正になるとはかぎらないことを証明すれば良い。
ただし、\(r\)は利率で、コインが表の時は\(S_1=uS_0\),裏の時は\(S_1=dS_0\)である。

証)
コインが表の時\(X_1(T)=\Delta_0 uS_0+(1+r)(X_0-\Delta_0 S_0)>0\)、
コインが裏の時\(X_1(H)=\Delta_0 dS_0+(1+r)(X_0-\Delta_0 S_0)>0\)が常に成り立てば良い。
しかし、上式からは\(\Delta_0S_0(u-(1+r))>0\)より\(\Delta_0>0\)、
下式からは\(\Delta_0S_0(d-(1+r))>0\)より\(\Delta_0<0\)で矛盾する。

注)
これは条件として\( X_0=0 \)を加えているが一般的には必要ない。一般的にargitrageである場合、\( P(X_1 < (r+1)X_0 )=0 \)を証明すれば良い。

Exercises 1.3

証)
\( V_0 = \frac {1}{1+r} \{ \frac{1+r-d}{u-d}V_1(H) + \frac{u-1-r}{u-d}V_1(T)\}
=\frac {1}{1+r} \{ \frac{1+r-d}{u-d}uS_0 + \frac{u-1-r}{u-d}d S_0\}
=S_0
\)

注)
たしかに\(S_0\)これは\(S_1\)を完全に複製するコストである。

Exercises 1.5

証)
どちらの場合も持ち資金は0で等しくなる。

Exercises 1.7

例1.2.4の逆のストラテジを行えば良いようです。そもそもshortは(空)売りでlongは買いだそうです。